【高等数学习题】如何利用有理函数的极限和重要极限求极限问题?

[高等数学学习系列] 这个视频中, 主要涉及了自然常数 e 相关的重要极限, 有理化因式, 还有有理函数的$\infty/\infty$型极限 这三个知识点 时间轴: 00:00 开场白 00:29 第一题 03:56 第二题 07:30 总结 在这一道题中, 我们主要使用了以下两个知识点. 1. 重要极限 $$ \lim_{x\rightarrow 0} (1+x)^{\frac1x} = \lim_{x\rightarrow \infty} (1+\dfrac1x)^x = e $$ 2. 有理化因式 $$ \sqrt{a} - \sqrt{b} = \dfrac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b} )}{\sqrt{a} + \sqrt{b} } = \dfrac{a-b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$ 3. 有理函数的极限 $$ \lim_{x\rightarrow\infty} \dfrac{a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots+a_m}{b_0x^n+b_1x^{n-1}+\cdots+b_n} = \begin{cases} 0, & n > m, \\[1mm] \dfrac{a_0}{b_0}, & n = m,\\[1mm] \infty, & n < m . \end{cases} $$