有趣的费曼积分法求cosx/(x^2+1)从负无穷到正无穷的定积分

[高等数学微积分技巧题] 费曼积分法能够将难以积分的函数变成另一种易于求积分的形式. 这个视频中, 我们利用费曼积分法求定积分 int_\infty^\infty cosx/(x^2+1) dx 首先, 我们介绍了费曼积分法所依赖的定理. 其次, 我们假设合适的 f(a, x) 函数, 和 f(a, x) 对x求积分后的函数 I(a) 然后, 我们对 I(a) 定义等式的两边同时对 a 求导; 整理后, 我们再一次对 a 求导, 得到一个2阶微分方程. 再然后, 利用常系数齐次线性微分方程, 以及相应的初值条件, 求得函数 I(a) 的表达式. 最后, 得到目标值 I(1), 及所求定积分.