数学思维：直观理解欧拉公式

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为 “数学中的天桥”。形式简单，结果惊人。（Euler's formula about e to the i pi, explained with velocities to positions.） 在理解欧拉公式前，需要注意虚数的出现。把实数数系进一步扩张，扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了，虚数只好向二维要空间了。 可是，这是最不能让人接受的一次数系扩张，听它的名字就感觉它是“虚”的： 从自然数扩张到整数：增加的负数可以对应“欠债、减少” 从整数扩张到有理数：增加的分数可以对应“分割、部分” 从有理数扩张到实数：增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度” 从实数扩张到复数：增加的虚数对应什么？ 虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。