之前的课,我们从有理数中构建出实数(第011课),而实数是有上确界性质(第006课)的有序域(第009课,第010课)。有理数是实数的真子集。我们还证明了实数有阿基米德性质(第012课)。上次课我们证明了有理数在实数中是稠密的。也就是说任意两个实数,无论他们有多接近,他们之间都能塞下有理数(第013课)。 今天我们来证明正实数有且只有唯一的正n次方根。我们都知道,如果是正有理数开根,并不一定能得到正有理数。也就是说正有理数对于开n次方这个运算是不封闭的。而实数的完备性保证了,正实数对于开n次方的运算是封闭的,并且结果是确定。就让我们来要严格证明任何一个正实数有且只有唯一的一个正的n次方根吧。